Das Wort leitet sich vom indischen Aryabhattiya, einem mathematischen Lehrbuch des Mathematikers Aryabhatta aus dem 5. Jahrhundert ab, während die eigentliche Methode Bijaganitam genannt wurde. In dem 13. Jahrhundert übernahmen und verfeinerten die Araber diese Methode und nannten sie al-jabr ("das Zusammenfügen gebrochener Teile"), was aus dem Titel des Rechen-Lehrbuchs von Al-Khwarizmi entnommen ist.

Die Inhalte und Methoden der Algebra haben sich in dem Laufe der Geschichte so stark erweitert, dass es schwer geworden ist, in einer knappen Definition anzugeben, was Algebra eigentlich ist. Auch wäre es nicht praktikabel, alle Aspekte der Algebra in einem Enzyklopädie-Artikel zu behandeln. Wir unterscheiden darum folgende, keineswegs scharf voneinander abgegrenzte Teilgebiete:

• Die elementare Algebra ist die Algebra in dem Sinne der Schulmathematik. Sie umfasst die Rechenregeln der natürlichen, ganzen, gebrochenen und reellen Zahlen, den Umgang mit Ausdrücken, die Variablen enthalten, und Wege zur Lösung einfacher algebraischer Gleichungen.
• Die klassische Algebra beschäftigt sich mit dem Lösen allgemeiner algebraischer Gleichungen (siehe unten) über den reellen oder komplexen Zahlen. Ihr zentrales Resultat ist der Fundamentalsatz der Algebra, der besagt, dass jedes nichtkonstante Polynom n-ten Grades in n Linearfaktoren mit komplexen Koeffizienten zerlegt werden kann.
• Die lineare Algebra behandelt das Lösen linearer Gleichungssysteme, die Behandlung von Vektorräumen und die Bestimmung von Eigenwerten; sie ist Grundlage für die analytische Geometrie.
• Die multilineare Algebra handelt von Tensoren.
• Die abstrakte Algebra ist eine Grundlagendisziplin der modernen Mathematik. Sie beschäftigt sich mit algebraischen Strukturen wie Gruppen, Ringe, Körper und deren Verknüpfung.
• Die universelle Algebra verallgemeinert die Begriffsbildungen der abstrakten Algebra. Sie geht dabei einen anderen, aber eben so weitreichenden Weg wie die Kategorientheorie.

Computer-Algebra-Systeme automatisieren algebraische Rechnungen.

Als Algebra (auch: Algebraische Struktur) bezeichnet man auch das Grundkonstrukt der abstrakten Algebra: eine Menge, auf der eine oder mehrere Verknüpfungen definiert sind und in der gewisse Axiome gelten. Gruppen, Ringe, Körper sind somit Beispiele für spezielle Algebren.

Einige spezielle algebraische Strukturen haben einen Namen, der das Wort "Algebra" explizit enthält:

• Eine Mengenalgebra, ab und zu auch ca. Algebra genannt, ist eine Teilmenge A einer Potenzmenge Π(X), mit Vereinigung und Komplementbildung als Verknüpfungen und der axiomatischen Forderung X∈A.
  • Eine σ-Algebra ist eine Mengenalgebra, die abgeschlossen auch bezüglich einer abzählbar unendlichen Folge von Verknüpfungen ist. σ-Algebren bilden eine Grundlage der Maßtheorie.
  • Siehe auch Relationale Algebra - ist Grundlage für Datenbanken
• Ein Vektorraum zusammen mit einer "Vektormultiplikation" wird ebenfalls als Algebra genannt; siehe dazu Algebra (Vektorraum). Spezielle Arten solche Algebren sind:
  • assoziative Algebra
  • Lie-Algebra
  • Banach-Algebra
  • Divisionsalgebra
• Boolesche Algebra

Algebraisch als mathematisches Attribut hat folgende Bedeutungen:

• Eine algebraische Gleichung ist eine Gleichung, zu deren Formulierung ca. endlich viele elementare Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) erforderlich sind, in der also zu dem Beispiel keine typischen analytischen Funktionen vorkommen.
• Die algebraischen Zahlen erhält man als Nullstellen von Polynomen mit rationalen Koeffizienten; die Menge der algebraischen Zahlen bildet den algebraischen Abschluss der Menge der rationalen Zahlen.
• Das algebraische Element erweitert den Begriff der algebraischen Zahl auf Nullstellen von Polynomen mit Koeffizienten aus einem beliebigen vorgegebenen Körper.

• Kommutative Algebra
• Algebraische Topologie
• Algebraische Geometrie
• Algebraische Zahlentheorie